Variable Aleatoria

Una variable aleatoria representa los posibles resultados de un fenómeno incierto y puede adoptar distintos valores dentro de un determinado rango. También se la conoce como variable estocástica o, simplemente, variable aleatoria (abreviada comúnmente como v.a.).

Ejemplo. La variable aleatoria X describe los posibles valores {1, 2, 3, 4, 5, 6} al lanzar un dado equilibrado. Aunque no podemos anticipar qué cara saldrá, sabemos con certeza que será una de las seis que X puede tomar.

En teoría de la probabilidad, una variable aleatoria es una función matemática que modela el resultado de un proceso aleatorio, es decir, no determinista.

Definición de Variable Aleatoria

Formalmente, una variable aleatoria (o estocástica) se define del siguiente modo:

Dado un espacio muestral {Ω} que contiene todas las combinaciones n-tupla de una variable estadística K, y una medida de probabilidad P definida sobre él, una variable aleatoria X es una función medible que va del espacio muestral {Ω} a un espacio de llegada E.

Cada elemento de {Ω} se asocia a un único valor que X puede asumir en el espacio E.

Esta definición es una generalización de la propuesta originalmente por Lindgreen.

Definición de Lindgreen. Una función X definida sobre el espacio muestral {Ω} se considera medible con respecto a la σ-álgebra de Borel β si y solo si el conjunto {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ λ} pertenece a β para todo número real λ.

Tipos de Variables Aleatorias

Según la naturaleza del fenómeno que se desea modelar, una variable aleatoria puede clasificarse en:

• Variable Aleatoria Discreta
  Si toma valores de un conjunto finito o numerable.
• Variable Aleatoria Continua
  Si puede asumir cualquier valor dentro del conjunto de los números reales ℝ.

Distribución de Probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una función que asigna a cada valor posible de X su probabilidad asociada P(X).

Ejemplo Práctico

La variable aleatoria X representa los posibles resultados del lanzamiento de un dado justo de seis caras.

Cada cara tiene una probabilidad P(X) igual a 1/6, lo cual equivale a 0,17 o un 17%.

Al asignar una probabilidad a cada resultado posible, se obtiene la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

La suma total de las probabilidades en una distribución es siempre igual a 1.

Variables Aleatorias Univariantes y Multivariantes

Las variables aleatorias también se clasifican según su dimensionalidad:

• Variables Aleatorias Univariantes: aquellas que dependen de una sola variable.
• Variables Aleatorias Multivariantes (o de dimensión n): aquellas que involucran dos o más dimensiones.

Procesos Estocásticos

Un proceso estocástico es una variable aleatoria cuya evolución depende del tiempo (t), considerado como variable independiente.