Valor Esperado
El valor esperado de una variable aleatoria $V$ es el promedio ponderado de todos los resultados posibles, donde cada uno se multiplica por su probabilidad de ocurrencia. En contextos marcados por la incertidumbre, una variable $V$ puede adoptar $n$ valores distintos según el estado del mundo. En la teoría de la probabilidad, el valor esperado también recibe el nombre de media o esperanza matemática.
A cada valor posible $v_j$ se le asocia una probabilidad $p_j$, que representa la verosimilitud de que ocurra dicho resultado. Al considerar el conjunto de todos los posibles valores, la suma de sus probabilidades debe ser igual a 1:
$$ \sum_{j=1}^n p_j = 1 $$
La fórmula general para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta es:
$$ \mathbb{E}[V] = \sum_{j=1}^n v_j \cdot p_j $$
El valor esperado refleja el promedio a largo plazo de un proceso aleatorio si este se repitiera un número infinito de veces. No necesariamente coincide con un resultado individual, sino que resume la tendencia central del comportamiento de la variable.
Por ejemplo, considera el lanzamiento de una moneda con dos posibles resultados: cara o cruz. Supón que ganas $100 $ si sale cara y nada si sale cruz, y que ambos resultados tienen una probabilidad de $0{,}5$. El valor esperado de este juego sería: $$ \mathbb{E}[V] = 100 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 = 50 $$ Esto significa que, tras muchas repeticiones del juego, la ganancia media por lanzamiento tendería a estabilizarse en 50.
En el caso de variables aleatorias continuas, el valor esperado se define mediante una integral:
$$ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $$
donde $f(x)$ es la función de densidad de probabilidad de la variable $X$.
El valor esperado es un concepto fundamental en estadística, economía, teoría de la decisión y finanzas. Proporciona un criterio racional para evaluar alternativas en presencia de incertidumbre y sirve de guía para tomar decisiones informadas bajo riesgo.
